前言
记录一下3月底、4月份每日一题记录,顺便督促自己打卡,仅记录每日一题~
(困难题型是否可以摸鱼呢?)
题目描述:给定一个整数 n
,返回 n!
结果中尾随零的数量。提示 n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1
自己的解法
最开始想的是阶乘求解之后,再去求末尾0的数量, 例如阶乘后的结果遍历对(10*j)求余,但发现执行到30就走不通了= =,就算给result赋值long类型也不够,因为会溢出。
思路学习
首先末尾有多少个 0 ,只需要给当前数乘以一个 10 就可以加一个 0。
再具体对于 5!,也就是 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120,我们发现结果会有一个 0,原因就是 2 和 5 相乘构成了一个 10。而对于 10 的话,其实也只有 2 * 5 可以构成,所以我们只需要找有多少对 2/5。
我们把每个乘数再稍微分解下,看一个例子。
11! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 11 * (2 * 5) * 9 * (4 * 2) * 7 * (3 * 2) * (1 * 5) * (2 * 2) * 3 * (1 * 2) * 1
对于含有 2 的因子的话是 1 * 2, 2 * 2, 3 * 2, 4 * 2 …
对于含有 5 的因子的话是 1 * 5, 2 * 5…
含有 2 的因子每两个出现一次,含有 5 的因子每 5 个出现一次,所有 2 出现的个数远远多于 5,换言之找到一个 5,一定能找到一个 2 与之配对。所以我们只需要找有多少个 5。
直接的,我们只需要判断每个累乘的数有多少个 5 的因子即可。
对于一个数的阶乘,就如之前分析的,5 的因子一定是每隔 5 个数出现一次,也就是下边的样子。
n! = 1 * 2 * 3 * 4 * (1 * 5) * … * (2 * 5) * … * (3 * 5) *… * n
因为每隔 5 个数出现一个 5,所以计算出现了多少个 5,我们只需要用 n/5 就可以算出来。
但还没有结束,继续分析。
… * (1 * 5) * … * (1 * 5 * 5) * … * (2 * 5 * 5) * … * (3 * 5 * 5) * … * n
每隔 25 个数字,出现的是两个 5,所以除了每隔 5 个数算作一个 5,每隔 25 个数,还需要多算一个 5。
也就是我们需要再加上 n / 25 个 5。
同理我们还会发现每隔 5 * 5 * 5 = 125 个数字,会出现 3 个 5,所以我们还需要再加上 n / 125 。
综上,规律就是每隔 5 个数,出现一个 5,每隔 25 个数,出现 2 个 5,每隔 125 个数,出现 3 个 5… 以此类推。
最终 5 的个数就是 n / 5 + n / 25 + n / 125 …
写程序的话,如果直接按照上边的式子计算,分母可能会造成溢出。所以算 n / 25 的时候,我们先把 n 更新,n = n / 5,然后再计算 n / 5 即可。后边的同理。